Probabilité d'obtenir 5 piles sur 5 lancers
3,13 %
soit 1/32 — une chance sur 32
Mis à jour le
Cinq piles d'affilée, et le doute s'installe : la pièce est-elle truquée ? À ce stade, le joueur commence à examiner la pièce sous toutes les coutures. Pourtant, cinq piles consécutifs arrivent une fois sur trente-deux, soit 3,13 %, ce qui reste possible sur une série un peu longue.
Là où l'intuition a raison, c'est qu'un vrai pile ou face n'est pas parfaitement équilibré. L'étude menée par František Bartoš et son équipe en 2023, portant sur 350 757 lancers réels, a confirmé un léger biais : une pièce a une petite tendance à retomber du côté par lequel elle est partie, un effet déjà prédit par les travaux de Persi Diaconis en 2007.
Le calcul étape par étape
1. Compter les arrangements
Combien de façons d'obtenir 5 piles parmi 5 lancers ? C'est le coefficient binomial :
C(5,5) = 5! / (5! × 0!) = 1
2. Probabilité d'une séquence
Chaque séquence précise de 5 lancers (indépendants, 50 % chacun) a la même probabilité :
(1/2)5 = 1/32
3. Multiplier
On combine les deux : le nombre d'arrangements multiplié par la probabilité de chacun.
1 × 1/32 = 1/32 = 3,13 %
La distribution complète sur 5 lancers
Ce que ce chiffre veut dire
En théorie, cinq piles valent (1/2)⁵ = 1/32. Chaque lancer reste indépendant : après quatre piles, le cinquième est toujours à 50 %. Le biais mesuré par Diaconis et Bartoš est physique, lié à la manière dont la pièce tourne, et de l'ordre de 50,8 % pour le côté de départ. Il est bien trop faible pour expliquer une série de cinq : ici, c'est simplement le hasard qui suit son cours.
Vérifiez-le : le mini-simulateur
La théorie annonce 3,13 %. Lancez l'expérience un grand nombre de fois et regardez la fréquence observée converger vers cette valeur.
Expériences
0
Fréquence observée
—
Probabilité théorique
3,13 %
Chaque expérience = 5 lancers. On compte la part qui donne exactement 5 piles. Plus vous lancez, plus la fréquence observée se rapproche de 3,13 %.
Questions fréquentes
Cinq piles de suite, est-ce que la pièce est truquée ?
+
Probablement pas. Cinq piles consécutifs arrivent une fois sur trente-deux, soit 3,13 %. C'est peu, mais loin d'être impossible : sur plusieurs dizaines de séries, l'événement finit par se produire. Détecter un vrai truquage demande des milliers de lancers, pas cinq. Une série courte ne prouve rien.
Un vrai pile ou face est-il exactement 50/50 ?
+
Presque, mais pas tout à fait. L'étude de František Bartoš et son équipe (2023), fondée sur 350 757 lancers, a montré qu'une pièce retombe légèrement plus souvent du côté par lequel elle a démarré, autour de 50,8 %. Ce biais, prédit par Persi Diaconis en 2007, est réel mais minuscule et n'a aucun effet perceptible sur quelques lancers.
One Last Thing.
Cinq piles de suite ne condamnent pas la pièce, ils rappellent que le hasard produit des séries que notre esprit juge trop belles pour être vraies. Le vrai biais des pièces, lui, est réel mais infime. Notre article sur le mythe du 50/50 détaille l'étude des 350 757 lancers.
Toutes les probabilités sur 5 lancers