Probabilité d'obtenir 2 piles sur 4 lancers
37,5 %
soit 6/16 — une chance sur 2,67
Mis à jour le
« Sur quatre lancers, on tombe sur deux piles et deux faces, c'est logique. » Voilà une phrase qu'on entend souvent en classe, et qui est fausse. Un enseignant peut en faire une démonstration marquante : demandez à trente élèves de lancer quatre fois et de noter le nombre de piles. La plupart n'obtiendront pas le partage parfait attendu.
Obtenir exactement deux piles sur quatre ne survient que 37,5 % du temps. C'est pourtant le résultat le plus probable de tous, mais il reste minoritaire : près de deux fois sur trois, le hasard s'écarte du partage moitié-moitié. L'équilibre parfait est l'exception, pas la règle.
Le calcul étape par étape
1. Compter les arrangements
Combien de façons d'obtenir 2 piles parmi 4 lancers ? C'est le coefficient binomial :
C(4,2) = 4! / (2! × 2!) = 6
2. Probabilité d'une séquence
Chaque séquence précise de 4 lancers (indépendants, 50 % chacun) a la même probabilité :
(1/2)4 = 1/16
3. Multiplier
On combine les deux : le nombre d'arrangements multiplié par la probabilité de chacun.
6 × 1/16 = 6/16 = 37,5 %
La distribution complète sur 4 lancers
Ce que ce chiffre veut dire
Il y a six façons de placer deux piles parmi quatre lancers, comptées par le coefficient C(4,2). Chacune vaut 1/16, ce qui donne 6/16, soit 37,5 %. Les autres 62,5 % se répartissent entre les cas déséquilibrés : trois piles, un pile, quatre piles ou zéro. Le « moitié-moitié » est le pic de la distribution, mais un pic qui ne rassemble qu'une minorité des cas.
Vérifiez-le : le mini-simulateur
La théorie annonce 37,5 %. Lancez l'expérience un grand nombre de fois et regardez la fréquence observée converger vers cette valeur.
Expériences
0
Fréquence observée
—
Probabilité théorique
37,50 %
Chaque expérience = 4 lancers. On compte la part qui donne exactement 2 piles. Plus vous lancez, plus la fréquence observée se rapproche de 37,50 %.
Questions fréquentes
Est-il normal de ne pas obtenir exactement deux piles sur quatre lancers ?
+
Tout à fait. Exactement deux piles sur quatre n'arrive que 37,5 % du temps. Dans 62,5 % des cas, on obtient un résultat déséquilibré (un, trois, zéro ou quatre piles). Le partage parfait est le résultat le plus probable pris isolément, mais il reste minoritaire face à l'ensemble des autres possibilités.
Pourquoi le résultat le plus probable n'arrive-t-il pas la plupart du temps ?
+
Parce qu'il est en concurrence avec plusieurs autres résultats. Deux piles sur quatre est le cas le plus fréquent (37,5 %), mais les cas « un pile » et « trois piles » valent chacun 25 %. Additionnés, les résultats déséquilibrés dépassent le partage parfait. Le mode d'une distribution n'est pas forcément majoritaire.
One Last Thing.
Cette page est un bon rappel pour la salle de classe : l'équilibre parfait est ce qu'on attend, pas ce qu'on observe le plus souvent. Pour prolonger l'expérience avec de vrais tirages et voir la fréquence se stabiliser, passez au simulateur de lancers multiples.
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