Probabilité d'obtenir 3 piles sur 3 lancers
12,5 %
soit 1/8 — une chance sur 8
Mis à jour le
Trois piles d'affilée, et déjà quelqu'un lance : « c'est truqué ! ». Dans sa pièce de théâtre Rosencrantz et Guildenstern sont morts, Tom Stoppard pousse l'idée à l'absurde avec une pièce qui tombe sur pile plus de quatre-vingts fois de suite. Trois fois, c'est beaucoup plus modeste, mais l'effet sur l'esprit est déjà là.
Obtenir pile trois fois de suite arrive une fois sur huit, soit 12,5 %. Ce n'est ni rare ni suspect : sur une poignée de tentatives, la série apparaît naturellement. Notre cerveau, lui, y voit un signe alors qu'il n'y en a aucun.
Le calcul étape par étape
1. Compter les arrangements
Combien de façons d'obtenir 3 piles parmi 3 lancers ? C'est le coefficient binomial :
C(3,3) = 3! / (3! × 0!) = 1
2. Probabilité d'une séquence
Chaque séquence précise de 3 lancers (indépendants, 50 % chacun) a la même probabilité :
(1/2)3 = 1/8
3. Multiplier
On combine les deux : le nombre d'arrangements multiplié par la probabilité de chacun.
1 × 1/8 = 1/8 = 12,5 %
La distribution complète sur 3 lancers
Ce que ce chiffre veut dire
Le calcul est direct : chaque lancer est indépendant, donc on multiplie 1/2 par 1/2 par 1/2, ce qui donne 1/8. La pièce n'a pas de mémoire. Après deux piles, le troisième lancer reste à 50 % de tomber sur pile, ni plus ni moins. Croire qu'une face « est due » est le cœur du sophisme du joueur.
Vérifiez-le : le mini-simulateur
La théorie annonce 12,5 %. Lancez l'expérience un grand nombre de fois et regardez la fréquence observée converger vers cette valeur.
Expériences
0
Fréquence observée
—
Probabilité théorique
12,50 %
Chaque expérience = 3 lancers. On compte la part qui donne exactement 3 piles. Plus vous lancez, plus la fréquence observée se rapproche de 12,50 %.
Questions fréquentes
Trois piles de suite, est-ce que la pièce est truquée ?
+
Pas nécessairement. Trois piles consécutifs arrivent une fois sur huit, soit 12,5 %, ce qui est fréquent. Sur dix séries de trois lancers, il est très probable d'en voir au moins une entièrement pile. Une pièce vraiment biaisée ne se détecte qu'après un très grand nombre de lancers, pas après trois.
La pièce se souvient-elle des lancers précédents ?
+
Non. Chaque lancer est un événement indépendant : le résultat ne dépend pas de ce qui s'est passé avant. Après deux piles, la probabilité d'obtenir un troisième pile reste exactement 50 %. Penser le contraire, c'est tomber dans le sophisme du joueur, une erreur de raisonnement bien documentée.
One Last Thing.
Une série de trois piles n'est pas un présage, juste de l'arithmétique. La vraie leçon est que notre intuition surestime la rareté des séries. Lancez une centaine de fois sur notre simulateur de lancers multiples et comptez les séries : vous en trouverez plus que prévu.
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