Probabilité d'obtenir 5 piles sur 10 lancers
24,61 %
soit 252/1024 — une chance sur 4,06
Mis à jour le
« Sur dix lancers, on obtient cinq piles, non ? » C'est la réponse spontanée de presque tout le monde, et elle est trompeuse. Obtenir exactement cinq piles sur dix lancers n'arrive qu'environ une fois sur quatre, soit 24,61 %. Trois fois sur quatre, le résultat s'écarte du partage parfait.
C'est pourtant bien le résultat le plus probable de tous : aucun autre nombre de piles n'est aussi fréquent. Mais « le plus probable » ne veut pas dire « attendu la plupart du temps ». Cet écart entre l'intuition et le calcul est au cœur de la loi des grands nombres, souvent mal comprise.
Le calcul étape par étape
1. Compter les arrangements
Combien de façons d'obtenir 5 piles parmi 10 lancers ? C'est le coefficient binomial :
C(10,5) = 10! / (5! × 5!) = 252
2. Probabilité d'une séquence
Chaque séquence précise de 10 lancers (indépendants, 50 % chacun) a la même probabilité :
(1/2)10 = 1/1024
3. Multiplier
On combine les deux : le nombre d'arrangements multiplié par la probabilité de chacun.
252 × 1/1024 = 252/1024 = 24,61 %
La distribution complète sur 10 lancers
Ce que ce chiffre veut dire
Le coefficient C(10,5) vaut 252 : il existe 252 façons d'obtenir cinq piles sur dix lancers, sur un total de 1 024 séquences possibles. D'où 252/1024, soit 24,61 %. La loi des grands nombres dit que la proportion de piles se rapproche de 50 % quand on multiplie les lancers, mais elle ne garantit jamais un nombre exact de cinq piles sur dix. Proportion et effectif ne se comportent pas de la même façon.
Vérifiez-le : le mini-simulateur
La théorie annonce 24,61 %. Lancez l'expérience un grand nombre de fois et regardez la fréquence observée converger vers cette valeur.
Expériences
0
Fréquence observée
—
Probabilité théorique
24,61 %
Chaque expérience = 10 lancers. On compte la part qui donne exactement 5 piles. Plus vous lancez, plus la fréquence observée se rapproche de 24,61 %.
Questions fréquentes
Pourquoi n'a-t-on pas 50 % de chances d'obtenir cinq piles sur dix lancers ?
+
Parce que « cinq piles » n'est qu'un résultat parmi onze possibles (de zéro à dix piles). C'est le plus probable, mais il ne vaut que 24,61 %. Les résultats voisins comme quatre ou six piles sont eux aussi fréquents. Additionnés, tous les cas différents de cinq piles l'emportent largement : le partage parfait reste minoritaire.
La loi des grands nombres garantit-elle cinq piles sur dix lancers ?
+
Non. La loi des grands nombres concerne la proportion, pas le nombre exact. Elle dit que le pourcentage de piles se rapproche de 50 % quand le nombre de lancers devient très grand. Sur seulement dix lancers, l'écart au partage parfait reste courant : obtenir exactement cinq piles n'est qu'une possibilité sur environ quatre.
One Last Thing.
Retenez ceci : cinq piles sur dix est le résultat le plus probable et pourtant minoritaire. C'est la meilleure illustration de la différence entre proportion et effectif. Vérifiez-le vous-même en lançant dix, cent puis mille fois sur le simulateur de lancers multiples : la proportion se stabilise à 50 %, le compte exact, jamais.
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