Probabilité au pile ou facela loi binomiale, sans les maux de tête
Combien de chances d'obtenir un nombre précis de piles sur plusieurs lancers ? Réglez n et k, lisez le résultat, puis explorez chaque cas en détail.
Mis à jour le
Probabilité d'obtenir exactement 5 piles sur 10 lancers
24,61 %
C(10,5) × (1/2)10 = 252/1024
Comprendre la probabilité d'un lancer de pièce
Un lancer de pièce donne pile ou face, chacun avec une probabilité de 1/2. Dès qu'on enchaîne plusieurs lancers, la question devient plus riche : quelle chance a-t-on d'obtenir un nombre précis de piles ? La réponse tient dans une formule, la loi binomiale.
Pour obtenir exactement k piles sur n lancers, on calcule C(n,k) × (1/2)n. Le premier terme, le coefficient binomial, compte le nombre de façons de placer les k piles parmi les n lancers. Le second est la probabilité d'une séquence donnée, puisque chaque lancer est indépendant et vaut 1/2.
Ce calcul explique pourquoi les résultats se concentrent autour de la moitié. Il n'y a qu'une seule manière d'obtenir dix piles sur dix lancers, mais 252 manières d'en obtenir cinq. La distribution prend alors sa forme en cloche, plus haute au centre et fine sur les bords.
Attention à ne pas confondre cette loi avec la loi des grands nombres, qui porte sur la proportion à long terme et non sur un tirage précis. Pour la voir à l'œuvre, notre simulateur de lancers multiples lance la pièce jusqu'à dix mille fois et montre la fréquence se stabiliser à 50 %. Pour réviser les bases, lisez aussi notre guide des probabilités.
Toutes les probabilités calculées
2 lancers
3 lancers
4 lancers
5 lancers
6 lancers
7 lancers
10 lancers
Questions fréquentes
Quelle est la formule de la probabilité au pile ou face ?
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La probabilité d'obtenir exactement k piles sur n lancers est donnée par la loi binomiale : C(n,k) × (1/2)^n. Le terme C(n,k) compte le nombre de façons d'obtenir k piles parmi n lancers, et (1/2)^n est la probabilité d'une séquence précise. Par exemple, 5 piles sur 10 lancers valent C(10,5) × (1/2)^10 = 252/1024, soit 24,61 %.
Pourquoi les résultats se concentrent-ils autour de la moitié ?
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Parce qu'il existe beaucoup plus de façons d'obtenir un partage équilibré qu'un résultat extrême. Il n'y a qu'une seule façon d'obtenir dix piles sur dix lancers, mais 252 façons d'en obtenir cinq. Le coefficient binomial est maximal au centre, ce qui donne à la distribution sa forme en cloche caractéristique.
La loi des grands nombres change-t-elle ces probabilités ?
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Non, elle les complète. La loi des grands nombres, formulée par Jakob Bernoulli, dit que la proportion de piles se rapproche de 50 % quand le nombre de lancers devient très grand. Elle porte sur la fréquence, pas sur le nombre exact de piles d'un tirage donné, qui reste régi par la loi binomiale.